Uma vez que não mencionou como cozinha a sua papa de aveia, vou usar as formas como cozinhei a minha como referência para responder à sua pergunta.
Normalmente cozinho aveia à moda antiga (sem aquelas que uso aveia rápida) com açúcar castanho no leite, no fogão (mas costumava fazê-lo no microondas). Já o fiz em água antes, mas não o suficiente para onde quero dizer muito sobre isso. Adiciono uma quantidade razoável de leite, mas cozinho-o até que a maior parte seja absorvida no fogão (fi-lo mais calórico quando cozi no microondas).
Nas minhas observações, a farinha de aveia transborda se a cozinhar em lume forte durante demasiado tempo.
Para o fogão, se utilizar um lume mais baixo e o cozinhar durante mais tempo, ou se o desligar antes de muito tempo, não deverá ter problemas particulares (e será menos provável que queime o seu leite dessa forma no fogão). No nosso fogão, num dos dois queimadores maiores (num vaso de vidro ou de aço inoxidável), não transborda se o calor for colocado em 4 (sendo as opções, do mais baixo para o mais alto, estas: baixo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, alto; 5 é calor médio).
Para cozinhar no microondas, há um ponto doce que só tem de aprender a encontrar, e não me lembro de que ponto isso era. Pare de cozinhá-lo antes que transborde, e espere que transborde se o cozinhar demasiado tempo. (Não lidei com definições de temperatura nem nada; portanto, há outras soluções de microondas, tenho a certeza).
FYI, não recomendo a utilização de um microondas para papas de aveia (embora possa saber muito bem). Pessoalmente penso que é mais saudável cozinhar aveia e outros grãos por mais tempo do que o microondas permite palatabilmente.
Descobri que algumas substâncias podem alterar a consistência de coisas como papas de leite. Não tenho a certeza de que a fruta impeça a ebulição, mas é possível. Sei que a terra de diatomáceas de qualidade alimentar parece reduzir a coagulação (como se se ferver alguma compota na sua papa de aveia, a compota pode fazer com que esta se transforme em queijo ácido), de qualquer forma.
Edit: Uma opção ainda melhor do que o fogão pode ser assar a sua papa de aveia. Apenas sobe um pouco, mas não transborda nem nada. O leite também não queima desta forma, e não tem de ficar por aqui enquanto cozinha. Não tenho a certeza do tempo ideal para assar, mas cozinho-o numa pequena panela de vidro ou numa caçarola de cerâmica a 450° F. num forno de torradeira no forno, durante menos tempo do que esperava. Fique atento às primeiras vezes para ter uma ideia do tempo ideal para o cozer.